라플라스 변환과 전달함수
미분방정식을 s의 곱셈과 나눗셈으로 바꾸는 도구. 전달함수 하나로 시스템의 반응을 읽는 방법.
왜 쓰나
미분방정식은 블록을 이어 붙일 때마다 풀기 어려워집니다. 라플라스 변환을 하면 미분이 s를 곱하는 것, 적분이 s로 나누는 것이 되어 대수 계산으로 바뀝니다.
| 시간 영역 | s 영역 |
|---|---|
| dy/dt | s·Y(s) |
| ∫y dt | Y(s)/s |
| 계단 입력 | 1/s |
전달함수
출력과 입력의 비 G(s) = Y(s) / U(s) (초기값 0)
- 1차 시스템: G(s) = K / (τs + 1)
- 적분기: G(s) = 1/s
- PID 제어기: C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
전달함수에서 읽는 것
- 극점(분모 = 0인 s): 응답의 모양과 안정성. 모두 왼쪽 반평면(실수부 < 0)이면 안정
- 직류 이득(s = 0 대입): 정상 상태에서 출력/입력 비
- 차수: 몇 차 시스템인가
실무 감각
현업에서는 손으로 역변환을 하기보다 MATLAB/Simulink나 Python(control 라이브러리)에 전달함수를 넣고 계단 응답과 보드 선도를 그립니다. 중요한 것은 전달함수를 보고 시스템이 어떻게 움직일지 짐작하는 감각입니다.